Švarcšilda metrika — definīcija un nozīme vispārīgajā relativitātē

Uzzini Švarcšilda metriku: definīcija, nozīme vispārīgajā relativitātē, melno caurumu gravitācijas lauks, matemātiskā formula un astrofizikas pielietojumi.

Autors: Leandro Alegsa

26-01-2026 19:57

Švarcšilda metriku 1916. gadā aprēķināja Karls Švarcbilds kā Einšteina laufa vienādojumu risinājumu. Pazīstama arī kā Švarcšilda risinājums, tā ir precīza risinājuma forma vispārīgās relativitātes vienādojumiem ārpus ideāli sfēriskas, nerotējošas un neelektrizētas masas (vakuma reģions), kad kosmoloģiskā konstante ir nulle. Ar metriku saprotam tādu matemātisku izteiksmi, kas nosaka attālumus un laika intervālus četrdimensionālajā telpiskajā laikā; Švarcšilda metrika attiecīgi apraksta gravitācijas lauku ap šādu masu, piemēram, ap melno caurumu bez magnētiskā lauka (magnētiskā lauka nav), vai arī ārējo telpu ap zvaigzni vai planētu, ja to izmēri ir pietiekami mazi attiecībā pret laukumu, kurā valda vakuums.

Definīcija un formula

Būtībā Švarcšilda metrika izsaka, kā daļiņa vai gaismas staru trajektorijas mainās telpā un laikā pie šā gravitācijas lauka. Standarta formā (Švarcšilda koordinātēs) metrika ir:

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{{\frac {2GM}{rc^{2}}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} $(ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$

Šeit:

c — gaismas ātrums vakuumā,
G — gravitācijas konstante,
M — centra masas (piem., melnā cauruma) masa,
t — laiks (Švarcšilda laika koordināta), r, θ, ϕ — standarta sferiskās koordinātas.

Galvenās īpašības

Sfēriska simetrija: metrika ir invarianta pret rotācijām, kas nozīmē, ka lauka lauks ir vienāds visos virzienos ap centru.
Statiskums: lauka īpašības nemainās laikā Švarcšilda koordinātēs (nav atkarības no t).
Vakuma risinājums: risinājums apmierina Einšteina lauka vienādojumus ar nulles enerģijas‑momenta tenzoru ārpus masas izvietojuma.
Unikalitāte (Birkhofa teorēma): jebkura sfēriska vakuma risinājuma ir lokāli noteikta Švarcšilda metrika — tas nozīmē, ka ārpus sfēriskas masas gravitācijas lauks ir Švarcšilda tips, pat ja masa dinamiski mainās iekšpusē.

Notikumu horizonts un radiuss

Švarcšilda radiuss (jeb Švarcšilda rādiuss, notikumu horizonts) tiek definēts kā

r_s = 2GM / c^2.

Pie r = r_s metrikas koeficienti izskatās singulari Švarcšilda koordinātēs — tas ir notikumu horizonts melnajam caurumam. Šī singularitāte ir koordinātu (matemātiska) un to var noņemt, pārejot uz citām koordinātēm (piem., Eddington–Finkelšteina vai Kruskal–Szekeres koordinātēm). Tomēr pie r = 0 atrodas īsta (radoša) fiziska singularitāte, kur kurvatures invarianti (piem., Riemanna tenzora kontrakti) diverģē.

Fiziskie efekti un novērojami parādības

Gravitācijas laika dilatācija: stacionāra (nemainīga r, θ, ϕ) novērotāja pareizā laika elementu attiecība pret tālāko laiku ir dτ = sqrt(1 − 2GM/(rc^2)) dt. Tas nozīmē, ka tuvāk masai laiks rit lēnāk.
Gravitācijas sarkanais nobīde: gaismas frekvence, kas nāk no r, tiek nobīdīta pēc faktora sqrt(1 − 2GM/(rc^2)).
Gaismas lūzums (loka leņķis): gaismas stari, kuri tuvojas masai, tiek saliekti; tas rada gravitācijas lēcas efektus novērojamos astronomiskos datos.
Perihelija precesija: orbītas veselam (klasiskajām) trajektorijām ir papildu periheļa pavērsums salīdzinājumā ar Ņūtona prognozi — šis efekts tika izmantots, lai skaidrotu Merkura perihelija anomaliju.
Fiksētās un nestabilas orbītas: pastāv fotonu sfēra pie r = 3GM/c^2 (kur var veidoties apļveida gaismas orbītas, bet tās ir nešķērsotas), un iekšējais stabilais apļveida orbītu slieksnis masīvām daļiņām (ISCO) ir r = 6GM/c^2.

Singularitātes un koordinātu jautājumi

Rādītās problēmas pie r = r_s ir koordinātu īpatnības Švarcšilda koordinātēs. Dažas alternatīvas koordinātēs pakāpeniski izskaidro, kā ceļot caur horizontu (piem., Eddington–Finkelšteina un Kruskal–Szekeres koordinātas ļauj izveidot pilnīgu manifoldu, kur notikumu horizonts nav patiesa singularitāte). Taču r = 0 ir patiesa ģeometriska singularitāte, kuras dabiska skaidrošana prasa kvantu gravitācijas teoriju.

Vēsturisks un praktisks nozīmīgums

Švarcšilda risinājums bija pirmais precīzs Einšteina lauka vienādojumu risinājums pēc vispārīgās relativitātes publicēšanas 1915.—1916. gadā. Tas deva teorētisku pamatu melno caurumu jēdzienam un ļāva paredzēt daudzus novērojamus efektus, kuri vēlāk tika pārbaudīti empīriski — gaismas novirze pie Saules (1919. gada Eddingtona ekspedīcija), Merkura perihelija precesija, gravitācijas sarkanais nobīde (Pound–Rebka eksperiments u.c.).

Papildus piezīmes

Švarcšilda metrika ir piemērojama ārpus masas izvietojuma; iekšpusē, ja masa ir sadalīta (piem., zvaigznes iekšiene), nepieciešams savienot iekšējo risinājumu ar ārējo (piem., Ņūtona vai TOV risinājumi atkarībā no gadījuma).
Ir vairākas koordinātu izpausmes (izotropiskās koordinātas, Painlevē–Gullstrand u.c.), kas dažreiz noder skaidrākai fiziskai interpretācijai vai skaitliskajām simulācijām.

Švarcšilda metrika joprojām ir pamats daudzām teorētiskām un novērojumu astronomijas izpētēm — no Saules sistēmas testa eksperimenti līdz melno caurumu attēlošanai un gravitatīvo viļņu avotu modelēšanai.

Atvasinājums

Lai gan, izmantojot Kristofela simbolus, var atrast sarežģītāku veidu, kā aprēķināt Švarcšilda metriku, to var arī iegūt, izmantojot izkrišanas ātruma ( v e {\displaystyle v_{e}}} $v_{e}$ ), laika dilatācijas (dt'), garuma kontrakcijas (dr') vienādojumus:

v e = v = 2 G M r {\displaystyle v_{e}=v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}} $v_{e}=v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}$ (1)

v ir daļiņas ātrums
G ir gravitācijas konstante
M ir melnā cauruma masa
r ir tas, cik tuvu daļiņa atrodas smagajam objektam.

d t ′ = d t 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}} $dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$ (2)
d r ′ = d r 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}}{c^{2}}}}}}} $dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$ (3)

dt' ir daļiņas patiesā laika maiņa
dt ir daļiņas laika maiņa
dr' ir
daļiņas patiesais nobrauktais attālums
dr ir daļiņas attāluma maiņa
v ir daļiņas ātrums
c ir gaismas ātrums.

Piezīme: patiesais laika intervāls un patiesais attālums, ko daļiņa veic, atšķiras no laika un attāluma, kas aprēķināts klasiskās fizikas aprēķinos, jo tā pārvietojas tik smagā gravitācijas laukā!

Izmantojot vienādojumu plakanam telpiskam laikmetam sfēriskās koordinātēs:

( d s ) 2 = - c 2 ( d t ) 2 + ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} $(ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$ (4)

ds ir daļiņas ceļš

θ {\displaystyle \theta } $\theta$ ir leņķis
d θ {\displaystyle \theta } $\theta$ un d ϕ {\displaystyle \phi } $\phi$ ir leņķu izmaiņas

Ievietojot bēgšanas ātruma, laika dilatācijas un garuma kontrakcijas vienādojumus (1., 2. un 3. vienādojums) plakana telpiska telpiska laika vienādojumā (4. vienādojums), iegūstam Švarcšilda metriku:

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + ( d r ) 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{{\frac {2GM}{rc^{2}}}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}{(1-{{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} $(ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$ (5)

No šī vienādojuma varam iegūt Švarcšilda rādiusu ( r s {\displaystyle r_{s}}} $r_{s}$ ), šī melnā cauruma rādiusu. Lai gan visbiežāk to izmanto Švarcšilda melnā cauruma aprakstam, Švarcšilda rādiusu var aprēķināt jebkuram smagam objektam.

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - r s r ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - r s r ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{{\frac {r_{s}}}{r}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{{\frac {r_{s}}}{r}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} $(ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {r_{s}}{r}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}{r}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$ (6)

r s {\displaystyle r_{s}} $r_{s}$ ir noteiktā objekta rādiusa robeža.

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir Švarcšilda metrika?

A: Švarcšilda metrika ir vispārīgās relativitātes vienādojums astrofizikas jomā, kas apraksta daļiņas kustību telpā melnā cauruma tuvumā. To 1916. gadā aprēķināja Karls Švarcšilds kā Einšteina lauka vienādojumu risinājumu.

Uz ko attiecas metrika?

A: Metrika ir vienādojums, kas apraksta telpisko laiku; jo īpaši Švarcšilda metrika apraksta gravitācijas lauku ap Švarcšilda melno caurumu.

J: Kādas ir dažas Švarcšilda melnā cauruma īpašības?

A: Švarcšilda melnais caurums ir nerotējošs, sfērisks, un tam nav magnētiskā lauka. Turklāt tās kosmoloģiskā konstante ir nulle.

J: Kā mēs varam aprakstīt gravitācijas lauku ap Švarcšilda melno caurumu?

A: Mēs to varam aprakstīt, izmantojot Švarcžilda metrisko vienādojumu, kas apraksta daļiņu kustību telpā šāda tipa melnā cauruma tuvumā.

J: Kas pirmais aprēķināja šo vienādojumu?

A: Karls Švarcilds pirmo reizi aprēķināja šo vienādojumu kā Einšteina lauka vienādojumu risinājumu 1916. gadā.

J: Ko šajā vienādojumā apzīmē (ds)^2?

A: (ds)^2 ir attālums starp diviem punktiem telpiskā laikā, ko mēra, ņemot vērā laika un telpas koordinātas.

Meklēt