Švarcšalda metrika
Švarcšilda metriku 1916. gadā aprēķināja Karls Švarcbilds kā Einšteina lauka vienādojumu risinājumu. Pazīstams arī kā Švarcšilda risinājums, tas ir vispārīgās relativitātes vienādojums astrofizikas jomā. Ar metriku apzīmē vienādojumu, kas apraksta telpisko laiku; jo īpaši Švarcšilda metrika apraksta gravitācijas lauku ap Švarcšilda melno caurumu - nerotējošu, sfērisku melno caurumu bez magnētiskālauka, kurā kosmoloģiskā konstante ir nulle.
Būtībā tas ir vienādojums, kas apraksta, kā daļiņa pārvietojas telpā melnā cauruma tuvumā.
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{{\frac {2GM}{rc^{2}}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} 
Atvasinājums
Lai gan, izmantojot Kristofela simbolus, var atrast sarežģītāku veidu, kā aprēķināt Švarcšilda metriku, to var arī iegūt, izmantojot izkrišanas ātruma ( v e {\displaystyle v_{e}}}
), laika dilatācijas (dt'), garuma kontrakcijas (dr') vienādojumus:
v e = v = 2 G M r {\displaystyle v_{e}=v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}} 
(1)
v ir daļiņas ātrums
G ir gravitācijas konstante
M ir melnā cauruma masa
r ir tas, cik tuvu daļiņa atrodas smagajam objektam.
d t ′ = d t 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}} 
(2)
d r ′ = d r 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}}{c^{2}}}}}}} 
(3)
dt' ir daļiņas patiesā laika maiņa
dt ir daļiņas laika maiņa
dr' ir
daļiņas patiesais nobrauktais attālums
dr ir daļiņas attāluma maiņa
v ir daļiņas ātrums
c ir gaismas ātrums.
Piezīme: patiesais laika intervāls un patiesais attālums, ko daļiņa veic, atšķiras no laika un attāluma, kas aprēķināts klasiskās fizikas aprēķinos, jo tā pārvietojas tik smagā gravitācijas laukā!
Izmantojot vienādojumu plakanam telpiskam laikmetam sfēriskās koordinātēs:
( d s ) 2 = - c 2 ( d t ) 2 + ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} 
(4)
ds ir daļiņas ceļš
θ {\displaystyle \theta } 
ir leņķis
d θ {\displaystyle \theta } un d ϕ {\displaystyle \phi } 
ir leņķu izmaiņas
Ievietojot bēgšanas ātruma, laika dilatācijas un garuma kontrakcijas vienādojumus (1., 2. un 3. vienādojums) plakana telpiska telpiska laika vienādojumā (4. vienādojums), iegūstam Švarcšilda metriku:
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + ( d r ) 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{{\frac {2GM}{rc^{2}}}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}{(1-{{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} 
(5)
No šī vienādojuma varam iegūt Švarcšilda rādiusu ( r s {\displaystyle r_{s}}}
), šī melnā cauruma rādiusu. Lai gan visbiežāk to izmanto Švarcšilda melnā cauruma aprakstam, Švarcšilda rādiusu var aprēķināt jebkuram smagam objektam.
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - r s r ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - r s r ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{{\frac {r_{s}}}{r}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{{\frac {r_{s}}}{r}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} 
(6)
r s {\displaystyle r_{s}} ir noteiktā objekta rādiusa robeža.
Jautājumi un atbildes
J: Kas ir Švarcšilda metrika?
A: Švarcšilda metrika ir vispārīgās relativitātes vienādojums astrofizikas jomā, kas apraksta daļiņas kustību telpā melnā cauruma tuvumā. To 1916. gadā aprēķināja Karls Švarcšilds kā Einšteina lauka vienādojumu risinājumu.
Uz ko attiecas metrika?
A: Metrika ir vienādojums, kas apraksta telpisko laiku; jo īpaši Švarcšilda metrika apraksta gravitācijas lauku ap Švarcšilda melno caurumu.
J: Kādas ir dažas Švarcšilda melnā cauruma īpašības?
A: Švarcšilda melnais caurums ir nerotējošs, sfērisks, un tam nav magnētiskā lauka. Turklāt tās kosmoloģiskā konstante ir nulle.
J: Kā mēs varam aprakstīt gravitācijas lauku ap Švarcšilda melno caurumu?
A: Mēs to varam aprakstīt, izmantojot Švarcžilda metrisko vienādojumu, kas apraksta daļiņu kustību telpā šāda tipa melnā cauruma tuvumā.
J: Kas pirmais aprēķināja šo vienādojumu?
A: Karls Švarcilds pirmo reizi aprēķināja šo vienādojumu kā Einšteina lauka vienādojumu risinājumu 1916. gadā.
J: Ko šajā vienādojumā apzīmē (ds)^2?
A: (ds)^2 ir attālums starp diviem punktiem telpiskā laikā, ko mēra, ņemot vērā laika un telpas koordinātas.
