Standarta kļūda — definīcija, aprēķins un nozīme statistikā

Viens no veidiem, kā noteikt vidējās vērtības standartkļūdu, ir iegūt daudz paraugu. Vispirms katram paraugam tiek atrasts vidējais lielums. Pēc tam tiek atrasts šo paraugu vidējais lielums un standartnovirze. Visu paraugu vidējo lielumu standartnovirze ir vidējā standartkļūda. Tas var sagādāt daudz darba. Dažreiz ir pārāk sarežģīti vai maksā pārāk dārgi, lai iegūtu daudz paraugu.

Cits veids, kā atrast vidējās vērtības standartkļūdu, ir izmantot vienādojumu, kam nepieciešams tikai viens paraugs. Vidējās vērtības standartkļūdu parasti aprēķina, dalot izlases standartnovirzi no visas grupas (izlases standartnovirzi) ar izlases lieluma kvadrātsakni.

S E x ¯ = s n {\displaystyle SE_{\bar {x}}} ={\frac {s}{\sqrt {n}}}}

kur

s ir izlases standartnovirze (t. i., uz izlasi balstīts populācijas standartnovirzes novērtējums), un

n ir mērījumu skaits paraugā.

Cik lielai ir jābūt izlasei, lai vidējās standartkļūdas aplēse būtu tuva visas grupas faktiskajai vidējai standartkļūdai? Paraugā jābūt vismaz sešiem mērījumiem. Tad izlases vidējā standartkļūda būs 5 % robežās no vidējās standartkļūdas, ja tiktu mērīta visa grupa.

Ir vēl viens vienādojums, ko izmantot, ja mērījumu skaits ir 5% vai vairāk no visas grupas:

Ja paraugā ir mazāk nekā 20 mērījumu, ir jāizmanto īpaši vienādojumi.

Dažreiz paraugs nāk no vienas vietas, lai gan visa grupa var būt izkliedēta. Dažreiz arī paraugs var tikt veikts īsā laika posmā, lai gan visa grupa aptver ilgāku laika posmu. Šādā gadījumā izlasē iekļautie skaitļi nav neatkarīgi. Tad izmanto īpašus vienādojumus, lai mēģinātu to koriģēt.

Praktisks rezultāts: Ja paraugā ir vairāk mērījumu, var iegūt lielāku pārliecību par vidējo vērtību. Tad vidējā standartkļūda būs mazāka, jo standartnovirze tiek dalīta ar lielāku skaitli. Tomēr, lai vidējās vērtības nenoteiktība (vidējās vērtības standartkļūda) būtu uz pusi mazāka, izlases lielumam (n) jābūt četras reizes lielākam. Tas ir tāpēc, ka standartnovirzi dala ar izlases lieluma kvadrātsakni. Lai nenoteiktība būtu desmito daļu lielāka, izlases lielumam (n) jābūt simts reizes lielākam!

Standartkļūdas ir viegli aprēķināt, un tās tiek bieži izmantotas, jo:

• Ja ir zināma vairāku atsevišķu lielumu standartkļūda, tad daudzos gadījumos var viegli aprēķināt kādas lielumu funkcijas standartkļūdu;
• Ja ir zināms vērtības varbūtības sadalījums, to var izmantot, lai aprēķinātu precīzu ticamības intervāla tuvinājumu; un
• Ja varbūtības sadalījums nav zināms, ticamības intervāla novērtēšanai var izmantot citus vienādojumus.
• Kad izlases lielums kļūst ļoti liels, centrālās robežas teorēmas princips rāda, ka izlases skaitļi ir ļoti līdzīgi skaitļiem visā grupā (tiem ir normāls sadalījums).

Relatīvā standartkļūda (RSE) ir standarta kļūda, kas dalīta ar vidējo vērtību. Šis skaitlis ir mazāks par vienu. Ja to reizina ar 100 %, iegūst vidējo kļūdu procentos. Tas palīdz parādīt, vai nenoteiktība ir nozīmīga. Piemēram, aplūkojiet divus mājsaimniecību ienākumu apsekojumus, kuru vidējais izlases rezultāts ir 50 000 USD. Ja viena apsekojuma standartkļūda ir 10 000 USD, bet otra - 5 000 USD, tad relatīvās standartkļūdas ir attiecīgi 20 % un 10 %. Apsekojums ar mazāku relatīvo standartkļūdu ir labāks, jo tajā mērījums ir precīzāks (nenoteiktība ir mazāka).

Patiesībā cilvēki, kuriem ir jāzina vidējās vērtības, bieži vien izlemj, cik mazai jābūt nenoteiktībai, pirms viņi nolemj izmantot informāciju. Piemēram, ASV Nacionālais veselības statistikas centrs neziņo par vidējo vērtību, ja relatīvā standartkļūda pārsniedz 30 %. NCHS arī pieprasa vismaz 30 novērojumus, lai varētu paziņot aplēsi. ^[]

Piemēram, Meksikas līča ūdenī ir daudz sarkanasaru. Lai noskaidrotu, cik vidēji sver 42 cm garš sarkanasaris, nav iespējams izmērīt visus sarkanasarus, kas ir 42 cm gari. Tā vietā ir iespējams izmērīt dažus no tiem. Zivis, kuras faktiski tiek mērītas, sauc par paraugu. Tabulā parādīts divu 42 cm garu sarkanasaru paraugu svars. Pirmā parauga vidējais (vidējais) svars ir 0,741 kg. Otrā parauga vidējais (vidējais) svars ir 0,735 kg, kas nedaudz atšķiras no pirmā parauga. Katrs no šiem vidējiem rādītājiem nedaudz atšķiras no vidējā rādītāja, kas tiktu iegūts, izmērot katru 42 cm garo sarkanasari (kas tik un tā nav iespējams).

Vidējās vērtības nenoteiktību var izmantot, lai uzzinātu, cik tuvu paraugu vidējā vērtība ir vidējai vērtībai, kas tiktu iegūta, mērot visu grupu. Vidējās vērtības nenoteiktību aprēķina kā parauga standartnovirzi, kas dalīta ar kvadrātsakni no paraugu skaita mīnus viens. Tabulā redzams, ka abu paraugu vidējo vērtību nenoteiktība ir ļoti tuvu viena otrai. Arī relatīvā nenoteiktība ir vidējās vērtības nenoteiktība, dalīta ar vidējo vērtību un reizināta ar 100 %. Šajā piemērā relatīvā nenoteiktība abiem paraugiem ir 2,38 % un 2,50 %.

Zinot vidējās vērtības nenoteiktību, var noteikt, cik tuvu izlases vidējais rādītājs ir vidējam rādītājam, ko iegūtu, mērot visu grupu. Visas grupas vidējais rādītājs ir starp a) vidējo rādītāju izlasē plus vidējā rādītāja nenoteiktība un b) vidējo rādītāju izlasē mīnus vidējā rādītāja nenoteiktība. Šajā piemērā vidējais svars visām 42 cm garajām sarkanasarēm Meksikas līcī ir 0,723-0,759 kg, pamatojoties uz pirmo paraugu, un 0,717-0,753 kg, pamatojoties uz otro paraugu.