Hiperboliskā ģeometrija — kas tā ir: definīcija, postulāti un modeļi

Interesanta hiperboliskās ģeometrijas īpašība izriet no tā, ka caur punktu P šķērso vairāk nekā viena paralēlā līnija: pastāv divas klases nešķērsojošo līniju. Lai B ir tāds punkts uz l, ka līnija PB ir perpendikulāra līnijai l. Apskatīsim tādu līniju x caur P, ka x nešķērso l un leņķis θ starp PB un x pretēji pulksteņrādītāja rādītāja virzienam no PB ir pēc iespējas mazāks, t. i., jebkurš mazāks leņķis liks līnijai šķērsot l. To hiperboliskajā ģeometrijā sauc par asimptotisko līniju. Simetriski, līnija y, kas veido tādu pašu leņķi θ starp PB un sevi, bet pulksteņrādītāja rādītāja virzienā no PB, arī būs asimptotiska. x un y ir vienīgās divas līnijas, kas caur P ir asimptotiskas pret l. Visas pārējās līnijas caur P, kas nešķērso l un kuru leņķi ar PB ir lielāki par θ, sauc par ultraparalēlām (vai disjointly parallel) pret l. Ievērojiet, ka, tā kā starp θ un 90 grādiem ir bezgalīgi daudz iespējamo leņķu, un katrs no tiem nosaka divas taisnes caur P, kas ir disjunktīgi paralēlas ar l, tad pastāv bezgalīgi daudz ultraparalēlu taisņu.

Tādējādi mums ir šāds modificēts paralēlais postulāts: Hiperboliskajā ģeometrijā, ja dota jebkura līnija l un punkts P, kas neatrodas uz l, caur P iet tieši divas līnijas, kas ir asimptotiskas ar l, un bezgalīgi daudz līniju, kas iet caur P, kuras ir ultraparalēlas ar l.

Atšķirības starp šo veidu līnijām var aplūkot arī šādi: attālums starp asimptotiskajām līnijām vienā virzienā tuvojas nullei, bet otrā virzienā pieaug neierobežoti; attālums starp ultraparalēlām līnijām palielinās abos virzienos. Ultraparalēlās teorēma nosaka, ka hiperboliskajā plaknē ir unikāla līnija, kas ir perpendikulāra katrai no dotajiem ultraparalēlu līniju pāriem.

Eiklīda ģeometrijā paralēlisma leņķis ir konstanta, tas ir, jebkurš attālums ‖ B P ‖ {\displaystyle \lVert BP\rVert } starp paralēlām taisnēm rada paralēlisma leņķi, kas vienāds ar 90°. Hiperboliskajā ģeometrijā paralēlisma leņķis mainās ar Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} funkciju. Šī funkcija, ko aprakstījis Nikolajs Ivanovičs Lobačevskis, rada unikālu paralēlisma leņķi katram attālumam p = ‖ B P ‖ {\displaystyle p=\lVert BP\rVert } . Attālumam kļūstot īsākam, Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} tuvojas 90°, bet, pieaugot attālumam, Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} tuvojas 0°. Tādējādi, samazinoties attālumam, hiperboliskā plakne arvien vairāk līdzinās Eiklīda ģeometrijai. Patiešām, mazos mērogos salīdzinājumā ar 1- K {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-K}}}} , kur K {\displaystyle K\! } ir plaknes (konstants) Gausa izliekums, novērotājam būtu grūti noteikt, vai viņš atrodas Eiklīda vai hiperboliskajā plaknē.

Vairāki ģeometri mēģināja pierādīt paralēlo postulātu, tostarp Omars Hajams, vēlāk Džovanni Džerolamo Sakeri, Džons Voliss, Lamberts un Legendrs. Viņu mēģinājumi cieta neveiksmi, taču viņu centieni deva sākumu hiperboliskajai ģeometrijai. Alhacena, Hajjama teorēmas par četrstūriem bija pirmās teorēmas par hiperbolisko ģeometriju. Viņu darbi par hiperbolisko ģeometriju ietekmēja tās attīstību vēlākajos Eiropas ģeometros, tostarp Vītelo, Alfonsu un Džonu Volisu.

Deviņpadsmitajā gadsimtā hiperbolisko ģeometriju pētīja Jānošs Bolājs un Nikolajs Ivanovičs Lobačevskis, kura vārdā tā dažkārt tiek dēvēta. Lobačevskis to publicēja 1830. gadā, bet Bolajs to atklāja patstāvīgi un publicēja 1832. gadā. Hiperbolisko ģeometriju pētīja arī Karls Frīdrihs Gauss, kurš 1824. gada vēstulē Taurinam aprakstīja, ka ir to konstruējis, taču savu darbu nepublicēja. 1868. gadā Eiženio Beltrami (Eugenio Beltrami) sniedza tās modeļus un izmantoja tos, lai pierādītu, ka hiperboliskā ģeometrija ir konsekventa, ja Eiklīda ģeometrija ir.

Terminu "hiperboliskā ģeometrija" 1871. gadā ieviesa Felikss Kleins. Plašāku vēsturi skatīt rakstā par neeiklīdisko ģeometriju.

Hiperboliskajai ģeometrijai parasti izmanto trīs modeļus: Kleina modeli, Puankarē diska modeli un Lorenca modeli jeb hiperboloīda modeli. Šie modeļi definē reālu hiperbolisku telpu, kas atbilst hiperboliskās ģeometrijas aksiomām. Neraugoties uz nosaukumiem, abus disku modeļus un pusplaknes modeli kā hiperboliskās telpas modeļus ieviesa Beltrami, nevis Poinkarē vai Kleins.

1. Kleina modelī, kas pazīstams arī kā projektīvā diska modelis un Beltrami-Kleina modelis, hiperboliskajai plaknei izmanto apļa iekšpusi, bet apļa akordus - līnijas.
2. Poinkarē pusplaknes modelī puse no Eiklīda plaknes, ko nosaka Eiklīda līnija B, ir hiperboliskā plakne (pati B nav iekļauta).
• Hiperboliskās līnijas tad ir vai nu pusapļi, kas ir perpendikulāri B, vai stari, kas ir perpendikulāri B.
• Abi Poinkarē modeļi saglabā hiperboliskos leņķus un tādējādi ir konformāli. Tādējādi visas izometrijas šajos modeļos ir Mobija transformācijas.
• Pusplaknes modelis ir identisks (pie robežas) Poinkarē diska modelim diska malā.
• Šis modelis ir tieši piemērojams speciālajai relativitātei, jo Minkovska trīsstūris ir telpisko laiku modelis, kurā viena telpiskā dimensija ir izslēgta. Ar hiperboloīdu var attēlot notikumus, kurus dažādi kustīgi novērotāji, kas no viena punkta izstaro telpiskā plaknē uz āru, sasniegs noteiktā laikā. Hiperbolisko attālumu starp diviem punktiem uz hiperboloīda var identificēt ar relatīvo ātrumu starp diviem atbilstošajiem novērotājiem.

M. C. Ešera slavenās grafikas Circle Limit III un Circle Limit IV diezgan labi ilustrē konformālo diska modeli. Abos var redzēt ģeodēzijas. (III attēlā baltās līnijas nav ģeodēzijas, bet gan hipercikli, kas iet līdzās tām). Var arī diezgan skaidri saskatīt hiperboliskās plaknes negatīvo izliekumu, jo tas ietekmē trīsstūru un kvadrātu leņķu summu.

Eiklīda plaknē to leņķu summa būtu 450°, t. i., aplis un ceturtdaļa. No tā mēs redzam, ka trīsstūra leņķu summai hiperboliskajā plaknē jābūt mazākai par 180°. Vēl viena redzama īpašība ir eksponenciāls pieaugums. Piemēram, apļa ierobežojumā IV var redzēt, ka eņģeļu un dēmonu skaits n attālumā no centra pieaug eksponenciāli. Dēmoniem ir vienāds hiperboliskais laukums, tāpēc n rādiusa lodes laukumam jāaug eksponenciāli n.

Ir vairāki veidi, kā fiziski realizēt hiperbolisko plakni (vai tās tuvinājumu). Īpaši labi pazīstams ir Viljama Tērstona (William Thurston) papīra modelis, kura pamatā ir pseidosfēra. Hiperbolisko plakņu demonstrēšanai ir izmantota tamborēšanas māksla, un pirmā no tām ir Dainas Taiminas darinātā. Keits Hendersons 2000. gadā demonstrēja ātri izgatavojamu papīra modeli, ko nodēvēja par "hiperbolisko futbola bumbu".