Hiperboliskā ģeometrija — kas tā ir: definīcija, postulāti un modeļi
Atklāj hiperboliskās ģeometrijas definīciju, postulātus un modeļus — saprotami piemēri, vizuāli skaidrojumi un salīdzinājums ar Eiklīda ģeometriju.
Matemātikā hiperboliskā ģeometrija ir neeiklīdiskā ģeometrija, kas nozīmē, ka tiek aizstāts Eiklīda ģeometrijas paralēles postulāts. Eiklīda ģeometrijas paralēlais postulāts saka, ka divdimensiju telpā jebkurai dotai līnijai l un punktam P, kas neatrodas uz l, caur P ir tieši viena līnija, kas nešķērso l. Šo līniju sauc par paralēlo līnijai l. Hiperboliskajā ģeometrijā caur P ir vismaz divas šādas līnijas. Tā kā tās nešķērso l, paralēlais postulāts ir nepatiess. Eiklīda ģeometrijā ir izveidoti modeļi, kas atbilst hiperboliskās ģeometrijas aksiomām. Šie modeļi pierāda, ka paralēlais postulāts ir neatkarīgs no pārējiem Eiklīda postulātiem.
Definīcija un postulāti
Hiperboliskā ģeometrija ir plaknes ģeometrija, kur tiek saglabātas daudzas Eiklīda intuitīvās īpašības (līnijas, leņķi, attālumi pēc definētām metriskām), taču tiek mainīts paralēlo līniju postulāts. Biežāk izmantotā formulējumā paralēlisms tiek aizstāts ar teicienu: dotai taisnei l un punktam P ārpus l pastāv vairāk nekā viena taisne, kas nešķērso l. Aksiomātiski pārējie Eiklīda postulāti (vai daudzus mūsdienu formulējumus — Hilberta aksiomas) var palikt spēkā; vienīgā atšķirība ir paralēlā postulāta alternatīva.
Paralēles tipu un termini
Tā kā nav hiperboliska analoga Eiklīda paralēlām līnijām, dažādu autoru vidū atšķiras paralēļu un ar tām saistīto terminu hiperboliskais lietojums. Šajā rakstā abas robežlīnijas sauc par asimptotiskām, bet līnijas, kurām ir kopīgs perpendikuls, sauc par ultraparalēlām; abām var lietot vienkāršu vārdu paralēle.
Galvenie modeļi
Hiperbolisko ģeometriju var modelēt dažādos formālos veidos, kas rāda tās konsekvenci (t.i., ja Eiklīda ģeometrija ir konsistenta, tad arī hiperboliskā ir konsistenta). Biežāk sastopamie modeļi:
- Poincaré disks (atvērtā diskā): punkts ir iekšpusē vienības rādiusa diskam. Geodēzijas (taisnes hiperboliskajā nozīmē) ir loka daļas, kas ir perpendikulāras diska robežai (tās izskatās kā loka, kas savieno divus punktus uz robežas) vai diametri. Hiperboliskais metriskais izteiksmes veids: ds^2 = 4(dx^2 + dy^2)/(1 - r^2)^2, kur r^2 = x^2 + y^2.
- Poincaré pusplakne (augšējā pusplakne Im(z) > 0): geodēzijas ir pusloki, kas perpendikulāri uz reālo asi, vai vertikālas taisnes. Šo modeli bieži izmanto komplekso funkciju teorijā un grupu harmoniskajās darbībās.
- Beltrami–Klein (projekcijas) modelis: iekšpusē vienības diska geodēzijas ir taisnu līniju segmenti (Eiklīda taisnes, kas savieno divus robežas punktus), taču leņķi nav saglabāti (tas nav konformāls). Šis modelis viegli ilustrē lineāro/ projektīvo pusi hiperbolikai.
- Hiperboloidu (Lobachevsky) modelis: modelis izmantojot divu lapu hiperzobas (vienu lapu) formu skatot Minkovska telpā; geodēzijas atbilst krusta produkta ģeometrijai. Šis modelis labi sasaista hiperbolisko ģeometriju ar diferenciālgeometriju un relativitātes fizikā lietoto Minkovska formu.
Pamatīpašības un seku piemēri
- Trijstūra iekšējo leņķu summa ir mazāka par 180 grādiem; starpība (defekts) ir tieši saistīta ar trijstūra laukumu.
- Laukums ir proporcionāls leņķu defektam: laukums = konstante × (π − (α+β+γ)). Parasti konstante saistīta ar ģeometrijas mērogu (kā negatīva RK kurvatura gadījumā).
- Nav līdzīgu (similar) bet ne kongruentu trijstūru iespējas tādā veidā kā Eiklīdā; līdzība tiek ierobežota, jo mērogošana maina krākumu.
- Attālums un apjoms aug eksponenciāli ar rādiusu: bumbas (apļi) apjoms pieaug ātrāk nekā Eiklīdā, kas rada daudzveidīgas tīklojumu un mozaīkas iespējas.
- Hiperboliskā plakne ir telpa ar konstanti negatīvu ģeometrisko kurvatūru (sistēmiski −1 pieņemot noteiktu mērogu).
- Izometriju grupa dažiem modeļiem sakrīt ar labi pētītām Lie grupām (piem., Poincaré modeļa gadījumā izometrijas saistītas ar Mobius transformācijām, kas saglabā disku vai pusplakni — grupas bieži apzīmē ar PSL(2,R) vai tā nozarēm).
Vēsture, pierādījumi un nozīme
Hiperboliskās ģeometrijas idejas neatkarīgi attīstīja N.I. Lobachevsky un J. Bolyai 19. gadsimta sākumā, savukārt K. F. Gauss jau iepriekš bija domājis par paralēlā postulāta iespējamo alternatīvu. Atsevišķu modeļu konstruēšana — īpaši E. Beltrami darbi 1860. gados un vēlāk Poincaré un Klein modeļi — pierādīja hiperboliskās ģeometrijas konsekvenci attiecībā pret Eiklīda ģeometriju (ja Eiklīda ir konsistenta, tad arī hiperboliskā ir konsistenta).
Mūsdienās hiperboliskā ģeometrija ir būtiska daudzās matemātikas jomās: topoloģijā (piem., virsmas un 3‑dimensiju daudzstūru pētījumi), grupu teorijā (Fuchsian un Kleinian grupas), dinamikā, komplekso funkciju teorijā un arī teorētiskajā fizikā (piem., vispārīgā relativitāte, kur lokālo negatīvo kurvatūru var saistīt ar noteiktiem risinājumiem). Turklāt hiperboliskie tīklojumi un mozaīkas tiek izmantoti mākslā un datorgrafikā.
Secinājums
Hiperboliskā ģeometrija paplašina mūsu izpratni par telpu iespējām, parādot, ka paralēlais postulāts nav nepieciešams, lai veidotu konsekventu ģeometriju. Modeļi, kas izvietoti Eiklīdā (Poincaré, Beltrami–Klein u.c.), ļauj vizualizēt un strādāt ar hiperboliskiem objektiem, saglabājot stingru saikni ar klasiskiem aksiomātiskiem pamatiem.
Līnijas, kas šķērso doto punktu P un ir asimptotiskas līnijai l.
Hiperboliskais trīsstūris
Nekrustojošās līnijas
Interesanta hiperboliskās ģeometrijas īpašība izriet no tā, ka caur punktu P šķērso vairāk nekā viena paralēlā līnija: pastāv divas klases nešķērsojošo līniju. Lai B ir tāds punkts uz l, ka līnija PB ir perpendikulāra līnijai l. Apskatīsim tādu līniju x caur P, ka x nešķērso l un leņķis θ starp PB un x pretēji pulksteņrādītāja rādītāja virzienam no PB ir pēc iespējas mazāks, t. i., jebkurš mazāks leņķis liks līnijai šķērsot l. To hiperboliskajā ģeometrijā sauc par asimptotisko līniju. Simetriski, līnija y, kas veido tādu pašu leņķi θ starp PB un sevi, bet pulksteņrādītāja rādītāja virzienā no PB, arī būs asimptotiska. x un y ir vienīgās divas līnijas, kas caur P ir asimptotiskas pret l. Visas pārējās līnijas caur P, kas nešķērso l un kuru leņķi ar PB ir lielāki par θ, sauc par ultraparalēlām (vai disjointly parallel) pret l. Ievērojiet, ka, tā kā starp θ un 90 grādiem ir bezgalīgi daudz iespējamo leņķu, un katrs no tiem nosaka divas taisnes caur P, kas ir disjunktīgi paralēlas ar l, tad pastāv bezgalīgi daudz ultraparalēlu taisņu.
Tādējādi mums ir šāds modificēts paralēlais postulāts: Hiperboliskajā ģeometrijā, ja dota jebkura līnija l un punkts P, kas neatrodas uz l, caur P iet tieši divas līnijas, kas ir asimptotiskas ar l, un bezgalīgi daudz līniju, kas iet caur P, kuras ir ultraparalēlas ar l.
Atšķirības starp šo veidu līnijām var aplūkot arī šādi: attālums starp asimptotiskajām līnijām vienā virzienā tuvojas nullei, bet otrā virzienā pieaug neierobežoti; attālums starp ultraparalēlām līnijām palielinās abos virzienos. Ultraparalēlās teorēma nosaka, ka hiperboliskajā plaknē ir unikāla līnija, kas ir perpendikulāra katrai no dotajiem ultraparalēlu līniju pāriem.
Eiklīda ģeometrijā paralēlisma leņķis ir konstanta, tas ir, jebkurš attālums ‖ B P ‖ {\displaystyle \lVert BP\rVert } 
starp paralēlām taisnēm rada paralēlisma leņķi, kas vienāds ar 90°. Hiperboliskajā ģeometrijā paralēlisma leņķis mainās ar Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} 
funkciju. Šī funkcija, ko aprakstījis Nikolajs Ivanovičs Lobačevskis, rada unikālu paralēlisma leņķi katram attālumam p = ‖ B P ‖ {\displaystyle p=\lVert BP\rVert } 
. Attālumam kļūstot īsākam, Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} tuvojas 90°, bet, pieaugot attālumam, Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} tuvojas 0°. Tādējādi, samazinoties attālumam, hiperboliskā plakne arvien vairāk līdzinās Eiklīda ģeometrijai. Patiešām, mazos mērogos salīdzinājumā ar 1- K {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-K}}}} 
, kur K {\displaystyle K\! }
ir plaknes (konstants) Gausa izliekums, novērotājam būtu grūti noteikt, vai viņš atrodas Eiklīda vai hiperboliskajā plaknē.
Vēsture
Vairāki ģeometri mēģināja pierādīt paralēlo postulātu, tostarp Omars Hajams, vēlāk Džovanni Džerolamo Sakeri, Džons Voliss, Lamberts un Legendrs. Viņu mēģinājumi cieta neveiksmi, taču viņu centieni deva sākumu hiperboliskajai ģeometrijai. Alhacena, Hajjama teorēmas par četrstūriem bija pirmās teorēmas par hiperbolisko ģeometriju. Viņu darbi par hiperbolisko ģeometriju ietekmēja tās attīstību vēlākajos Eiropas ģeometros, tostarp Vītelo, Alfonsu un Džonu Volisu.
Deviņpadsmitajā gadsimtā hiperbolisko ģeometriju pētīja Jānošs Bolājs un Nikolajs Ivanovičs Lobačevskis, kura vārdā tā dažkārt tiek dēvēta. Lobačevskis to publicēja 1830. gadā, bet Bolajs to atklāja patstāvīgi un publicēja 1832. gadā. Hiperbolisko ģeometriju pētīja arī Karls Frīdrihs Gauss, kurš 1824. gada vēstulē Taurinam aprakstīja, ka ir to konstruējis, taču savu darbu nepublicēja. 1868. gadā Eiženio Beltrami (Eugenio Beltrami) sniedza tās modeļus un izmantoja tos, lai pierādītu, ka hiperboliskā ģeometrija ir konsekventa, ja Eiklīda ģeometrija ir.
Terminu "hiperboliskā ģeometrija" 1871. gadā ieviesa Felikss Kleins. Plašāku vēsturi skatīt rakstā par neeiklīdisko ģeometriju.
Hiperboliskās plaknes modeļi
Hiperboliskajai ģeometrijai parasti izmanto trīs modeļus: Kleina modeli, Puankarē diska modeli un Lorenca modeli jeb hiperboloīda modeli. Šie modeļi definē reālu hiperbolisku telpu, kas atbilst hiperboliskās ģeometrijas aksiomām. Neraugoties uz nosaukumiem, abus disku modeļus un pusplaknes modeli kā hiperboliskās telpas modeļus ieviesa Beltrami, nevis Poinkarē vai Kleins.
- Kleina modelī, kas pazīstams arī kā projektīvā diska modelis un Beltrami-Kleina modelis, hiperboliskajai plaknei izmanto apļa iekšpusi, bet apļa akordus - līnijas.
- Poinkarē pusplaknes modelī puse no Eiklīda plaknes, ko nosaka Eiklīda līnija B, ir hiperboliskā plakne (pati B nav iekļauta).
- Hiperboliskās līnijas tad ir vai nu pusapļi, kas ir perpendikulāri B, vai stari, kas ir perpendikulāri B.
- Abi Poinkarē modeļi saglabā hiperboliskos leņķus un tādējādi ir konformāli. Tādējādi visas izometrijas šajos modeļos ir Mobija transformācijas.
- Pusplaknes modelis ir identisks (pie robežas) Poinkarē diska modelim diska malā.
- Šis modelis ir tieši piemērojams speciālajai relativitātei, jo Minkovska trīsstūris ir telpisko laiku modelis, kurā viena telpiskā dimensija ir izslēgta. Ar hiperboloīdu var attēlot notikumus, kurus dažādi kustīgi novērotāji, kas no viena punkta izstaro telpiskā plaknē uz āru, sasniegs noteiktā laikā. Hiperbolisko attālumu starp diviem punktiem uz hiperboloīda var identificēt ar relatīvo ātrumu starp diviem atbilstošajiem novērotājiem.
Poankarē diska modelis lielam rombveida {3,7} dakstiņojumam
Hiperboliskās ģeometrijas vizualizēšana
M. C. Ešera slavenās grafikas Circle Limit III un Circle Limit IV diezgan labi ilustrē konformālo diska modeli. Abos var redzēt ģeodēzijas. (III attēlā baltās līnijas nav ģeodēzijas, bet gan hipercikli, kas iet līdzās tām). Var arī diezgan skaidri saskatīt hiperboliskās plaknes negatīvo izliekumu, jo tas ietekmē trīsstūru un kvadrātu leņķu summu.
Eiklīda plaknē to leņķu summa būtu 450°, t. i., aplis un ceturtdaļa. No tā mēs redzam, ka trīsstūra leņķu summai hiperboliskajā plaknē jābūt mazākai par 180°. Vēl viena redzama īpašība ir eksponenciāls pieaugums. Piemēram, apļa ierobežojumā IV var redzēt, ka eņģeļu un dēmonu skaits n attālumā no centra pieaug eksponenciāli. Dēmoniem ir vienāds hiperboliskais laukums, tāpēc n rādiusa lodes laukumam jāaug eksponenciāli n.
Ir vairāki veidi, kā fiziski realizēt hiperbolisko plakni (vai tās tuvinājumu). Īpaši labi pazīstams ir Viljama Tērstona (William Thurston) papīra modelis, kura pamatā ir pseidosfēra. Hiperbolisko plakņu demonstrēšanai ir izmantota tamborēšanas māksla, un pirmā no tām ir Dainas Taiminas darinātā. Keits Hendersons 2000. gadā demonstrēja ātri izgatavojamu papīra modeli, ko nodēvēja par "hiperbolisko futbola bumbu".
Institūta "Institute For Figuring" tamborētu hiperbolisku plakņu kolekcija koraļļu rifa imitācijā.
Jautājumi un atbildes
J: Kas ir hiperboliskā ģeometrija?
A: Hiperboliskā ģeometrija ir neeiklīdiskā ģeometrija, kas nozīmē, ka paralēles postulāts, kas definē Eiklīda ģeometriju, nav patiess. Hiperboliskā plaknē līnijas, kas sākumā bija paralēlas, kļūst arvien tālāk un tālāk viena no otras.
J: Ar ko hiperboliskā ģeometrija atšķiras no parastās plakanās plaknes ģeometrijas?
A: Eiklīda ģeometrijas noteikumu aizstāšana ar hiperboliskās ģeometrijas noteikumiem nozīmē, ka tā darbojas citādi nekā parastā plakana plaknes ģeometrija. Piemēram, trijstūriem būs leņķi, kuru summa ir mazāka par 180 grādiem, kas nozīmē, ka tie ir pārāk smaili un izskatās tā, it kā malas būtu iegrimušas vidū.
Vai ir kādi reāli objekti, kuru forma atgādina hiperboliskas plaknes daļas?
A: Jā, daži koraļļu un salātu veidi ir veidoti kā hiperboliskas plaknes gabali.
J: Kāpēc varētu būt vieglāk uzzīmēt interneta karti, ja karte nav plakana?
A: Interneta karti var būt vieglāk uzzīmēt, ja karte nav plakana, jo tās malās ir vairāk datoru, bet centrā to ir ļoti maz.
J: Vai šī koncepcija attiecas arī uz ko citu, ne tikai uz datortīklu kartēšanu?
A: Daži fiziķi pat uzskata, ka mūsu Visums ir nedaudz hiperbolisks.
Meklēt