Logaritmiskā skala — definīcija un piemēri (pH, decibeli, Richter)

Logaritmiskā skala ir mērogs, ko izmanto, ja dati vai lielumi aptver ļoti plašu diapazonu vai kad interesē multiplikatīvas attiecības, nevis absolūtas starpības. To bieži pielieto, piemēram, zemestrīces stipruma mērīšanā, skaņas skaļuma novērtēšanā, gaismas intensitātes salīdzināšanā un šķīdumu pH noteikšanā.

Kas ir logaritmiskā skala?

Atšķirībā no lineārās skalas, kurai katra zīme atbilst vienādai pieauguma vienībai, logaritmiskā skalā zīmju izvietojums atbilst lieluma kārtām — katras nākamās atzīmes vērtība ir iepriekšējā vērtība, reizināta ar noteiktu konstanti (piemēram, 10 vai 2). Tas nozīmē, ka uz logaritmiskās skalas vienādas attāluma atšķirības atbilst vienādām reizināšanas attiecībām (piem., reizinājums ar 10 — viena dekāde), nevis vienādām absolūtām starpībām.

Matemātiskā definīcija (vienkāršoti)

Ja fiziskais lielums ir x, logaritmiskais mērs L(x) parasti definējas kā L(x) = log_b(x / x0), kur:

• b ir logaritma bāze (bieži 10, bet var būt arī e vai 2),
• x0 ir atsauces (nulles) vērtība.

Piemēri:

• pH: pH = −log10[H+], tātad pH = 7 nozīmē, ka ūdeņraža jonu koncentrācija ir 10−7 mol/l.
• Skaņas līmenis (decibeli): skaņas intensitātes līmenis L = 10·log10(I/I0) (ja mēra jaudu/intensitāti) vai L = 20·log10(p/p0) (ja mēra amplitūdu, piemēram, spiedienu). Decibeli ir relatīvs, logaritmisks mērs.
• Richter mērogs (aptuvens piemērs): seismiskā magnitūda bieži tiek aprakstīta kā M = log10(A/A0) + korekcija, kur A ir mērītā svārstību amplitūda.

Kāpēc logaritmiskā skala ir noderīga?

• Tā kompresē ļoti plašu vērtību diapazonu uz pārskatāmāku skalu — reizināšanas attiecības kļūst par vienkāršām saskaitāmām vērtībām.
• Multiplikatīvas attiecības pārvēršas par additīvām: ja x1 un x2 reizina, to logaritmi summējas. Tas noder datu analīzē, grafikos un inženierijā.
• Daudzi fizikālie un bioloģiskie procesi ir proporcionāli vai eksponenciāli, un logaritmiska mērogošana ļauj tos attēlot kā gandrīz lineārus.
• Daļa cilvēku maņu (piem., sajūtas) un daži bioloģiskie procesi darbojas logaritmiski — Stīvensa jaudas likums (Stīvensa jaudas likums) un Weber–Fechner tipa attiecības apraksta, kā uztvere mainās atkarībā no stimulācijas lieluma. Tāpēc logaritmiskās skalas bieži labāk atbilst cilvēka uztverei. Piemēram, mūsu dzirde uztver vienādus frekvenču reizinājumus kā vienādas augstuma atšķirības (oktāves), tātad frekvenču skala dabā bieži tiek attēlota logaritmiski.
• Logaritmiskās skalas tiek izmantotas arī bīdāmajos mērinstrumentos (piem., logaritmiskās skalas uz senām ripām vai regulām), lai reizināšanas/dalīšanas darbības pārvērstu par saskaitīšanu/atņemšanu uz skalas.

Praktiskas piezīmes un interpretācija

• Uz logaritmiskās skalas maziem reizinājumiem (attiecībām mazākām par 1) atbilst negatīvas vai mazas logaritmiskā mērījuma vērtības — tas nozīmē, ka vērtības, kas ir mazākas par atsauci, iegūst negatīvas logaritmiskās vērtības.
• Vienmēr pārbaudiet, kāda ir atsauces vērtība (x0) un kāda bāze (b) tiek lietota — bez šīs informācijas skaitliskās logaritmiskās vērtības nav salīdzināmas.
• Logaritmiskie grafiki (x- vai y-ass logaritmiska mērogošana) ir īpaši noderīgi, lai atklātu eksponenciālas attiecības, ja dati aptver vairākas kārtas.

Kopsavilkums

Logaritmiskā skala ir ērta, ja jāstrādā ar lieliem vērtību diapazoniem vai ja svarīgas ir relatīvās, nevis absolūtās izmaiņas. Tā pārvērš reizināšanas attiecības par saskaitāmām vērtībām, atvieglojot analīzi un vizualizāciju. Tipiski piemēri ir pH, decibeli un zemestrīces magnitūda; tās arī bieži atbilst cilvēka uztveres īpašībām, tāpēc ir plaši lietojamas praksē.

Meklēt pēc burta