Matemātiskā analīze

Matemātiskās analīzes daļas

Ierobežojumi

Piemērs matemātiskajai analīzei ir robežas. Robežas izmanto, lai redzētu, kas notiek ļoti tuvu lietām. Robežas var izmantot arī, lai redzētu, kas notiek, kad lietas kļūst ļoti lielas. Piemēram, 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}}} nekad nav nulle, bet, pieaugot n, 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} kļūst tuvu nullei. 1 n {\displaystyle {\displaystyle {\frac {1}{n}}} robeža, jo n kļūst lielāks, ir nulle. Parasti saka: "1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} robeža, n kļūstot bezgalīgam, ir nulle". To raksta kā lim n → ∞ 1 n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}}=0} .

Atbilde būtu 2 × n {\displaystyle {2}\times {n}}. . Kad n {\displaystyle {n}} kļūst lielāks, robeža sasniedz bezgalību. To raksta kā lim n → ∞ 2 × n = ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{2}\times {n}=\infty }. .

Algebras fundamentālo teorēmu var pierādīt no dažiem kompleksās analīzes pamatrezultātiem. Tajā teikts, ka katram polinomam f ( x ) {\displaystyle f(x)} ar reāliem vai kompleksiem koeficientiem ir kompleksa sakne. Sakne ir skaitlis x, kas dod atrisinājumu f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} . Dažas no šīm saknēm var būt vienādas.

Diferenciālais aprēķins

Funkcija f ( x ) = m x + c {\displaystyle f(x)={m}{x}+{c}} ir līnija. Ar m {\displaystyle {m}} tiek parādīts funkcijas slīpums, bet ar c {\displaystyle {c}} tiek parādīta funkcijas novietojums uz ordinātes. Izmantojot divus punktus uz taisnes, slīpumu m {\displaystyle {m}} var aprēķināt ar:

m = y 1 - y 0 x 1 - x 0 {\displaystyle m={{\frac {y_{1}-y_{0}}}{x_{1}-x_{0}}}} .

Funkcija formā f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}}. , kas nav lineāra, nevar aprēķināt kā iepriekš. Var aprēķināt tikai slīpumu, izmantojot tangentes un sekantas. Sekanta iet caur diviem punktiem, un, kad šie divi punkti pietuvojas, tā pārvēršas par tangenti.

Jaunā formula ir m = f ( x 1 ) - f ( x 0 ) x 1 - x 0 {\displaystyle m={{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}} .

To sauc par starpības koeficientu. Tagad x 1 {\displaystyle x_{1}} ir tuvāk x 0 {\displaystyle x_{0}}. . To var izteikt ar šādu formulu:

f ′ ( x ) = lim x → x 0 f ( x ) - f ( x 0 ) x - x 0 {\displaystyle f'(x)=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}} .

Rezultātu sauc par f atvasinājumu vai slīpumu punktā x {\displaystyle {x}}. .

Integrācija

Integrācija attiecas uz laukumu aprēķināšanu.

Simbols ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x} x}

tiek lasīts kā "f integrāls no a līdz b" un attiecas uz laukumu starp x asi, funkcijas f grafiku un līnijām x=a un x=b. a {\displaystyle a} ir punkts, kurā apgabalam jāsākas, un b {\displaystyle b} ir punkts, kurā apgabals beidzas.

Saistītās lapas

Dažas analīzes tēmas ir šādas:

• Calculus
• Kompleksā analīze
• Funkcionālā analīze
• Skaitliskā analīze

Dažas noderīgas analīzes idejas:

• Sērija
• Sekvences
• Atvasinātie instrumenti
• Integrāli