Šrēdingera vienādojums: kvantu viļņu funkcija, formulējums un interpretācijas

Iepazīsti Šrēdingera vienādojumu, kvantu viļņu funkcijas formulējumu, piemērus un interpretācijas — skaidrojums no pamatiem līdz mūsdienu debatēm.

Autors: Leandro Alegsa

20-12-2025 14:03

Šrēdingera vienādojums ir diferenciālvienādojums (vienādojuma veids, kas ietver nezināmu funkciju, nevis nezināmu skaitli), kas ir kvantu mehānikas - vienas no visprecīzākajām teorijām par subatomāro daļiņu uzvedību - pamatā. Tas ir matemātisks vienādojums, ko 1925. gadā izdomāja Ervins Šrēdingers. Tas definē daļiņas vai sistēmas (daļiņu grupas) viļņu funkciju, kurai ir noteikta vērtība katrā telpas punktā katrā noteiktā laikā. Šīm vērtībām nav fizikālas nozīmes (patiesībā tās ir matemātiski sarežģītas), tomēr viļņu funkcija satur visu informāciju, ko var zināt par daļiņu vai sistēmu. Šo informāciju var atrast, matemātiski manipulējot ar viļņu funkciju, lai iegūtu reālas vērtības, kas attiecas uz fizikālām īpašībām, piemēram, pozīciju, impulsu, enerģiju utt. Viļņu funkcija var uzskatīt par attēlu tam, kā šī daļiņa vai sistēma darbojas laikā, un tā to apraksta pēc iespējas pilnīgāk.

Viļņu funkcija var atrasties vairākos dažādos stāvokļos vienlaicīgi, tāpēc daļiņai vienlaikus var būt dažādas pozīcijas, enerģijas, ātrumi vai citas fizikālās īpašības (t. i., "būt divās vietās vienlaicīgi"). Tomēr, kad tiek mērīta viena no šīm īpašībām, tai ir tikai viena konkrēta vērtība (kuru nevar precīzi paredzēt), un tāpēc viļņu funkcija ir tikai vienā konkrētā stāvoklī. To sauc par viļņu funkcijas sabrukumu, un šķiet, ka to izraisa novērošanas vai mērīšanas akts. Par viļņu funkcijas sabrukuma precīzu cēloni un interpretāciju zinātnieku aprindās joprojām notiek plašas diskusijas.

Vienai daļiņai, kas telpā pārvietojas tikai vienā virzienā, Šrēdingera vienādojums izskatās šādi:

- ℏ 2 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 Ψ ( x , t ) + V ( x ) Ψ ( x , t ) = i ℏ ∂ ∂ t Ψ ( x , t ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,\,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,\,t)} $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,\,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,\,t)$

kur i {\displaystyle i} $i$ ir kvadrātsakne no -1, ℏ {\displaystyle \hbar } $\hbar$ ir reducētā Planka konstante, t {\displaystyle t} $t$ ir laiks, x {\displaystyle x} ir pozīcija, Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,\,t)} $\Psi (x,\,t)$ ir viļņu funkcija, un V ( x ) {\displaystyle V(x)} $V(x)$ ir potenciālā enerģija, kas vēl nav izvēlēta kā pozīcijas funkcija. Kreisā puse ir līdzvērtīga Hamiltona enerģijas operatoram, kas darbojas uz Ψ {\displaystyle \Psi }. $\Psi$ .

Laika atkarīgā un laika neatkarīgā forma

Laika atkarīgā Šrēdingera vienādojuma variants (parādīts augstāk) apraksta, kā viļņu funkcija Ψ(x,t) mainās laikā. Ja potenciāls V(x) neietver laika atkarību, parasti izmanto separācijas metodi: raksta Ψ(x,t) = ψ(x)·φ(t). Tas noved pie laika neatkarīgā Šrēdingera vienādojuma enerģijas (eigenvērtību) problēmai:

Hψ(x) = Eψ(x),

kur H ir Hamiltona operators (parasti H = −(ℏ²/2m)∇² + V(x)), ψ(x) ir stāvokļa viļņu funkcija bez laika atkarības, un E ir enerģijas eigenvērtība. Risinot šo diferenciālvienādojumu ar piemērotiem robežnosacījumiem, iegūst diskretas vai kontinuas enerģijas līnijas atkarībā no potenciāla.

Gala stāvokļi, normalizācija un Borna likums

Normalizācija: viļņu funkciju parasti normalizē tā, lai kopā visi iespējamie notikumi būtu ar varbūtību 1, t.i., ∫|Ψ(x,t)|² dx = 1. Tas nozīmē, ka varbūtība atrast daļiņu kaut kur telpā ir 100%.
Born-interpretācija: |Ψ(x,t)|² dod varbūtības blīvumu atrast daļiņu telpas punktā x laikā t. Šī interpretācija saista matemātisko viļņu funkciju ar eksperimentāli mērojamiem rezultātiem.
Laika attīstība: ja stāvoklis ir enerģijas eigenstāvoklis ψ_n ar enerģiju E_n, tad laika atkarīgā funkcija ir ψ_n(x)·e^{-iE_n t/ℏ} — tā sauktie stacionārie stāvokļi, kuru varbūtības blīvums nemainās laika gaitā.

Varbūtības plūsma un saglabāšanās likums

No Šrēdingera vienādojuma izriet kontinuitātes vienādojums, kas pauž varbūtības saglabāšanos:

∂ρ/∂t + ∇·j = 0, kur ρ = |Ψ|² ir varbūtības blīvums un j ir varbūtības plūsmas (current). Tas nozīmē, ka viļņu funkcijas evolūcija saglabā kopējo varbūtību.

Operatori, mērījumi un gaidāmās vērtības

Kvantu mehānikā fizikālie lielumi tiek attēloti ar operatoriem. Piemēram, impulsa operators vienā dimensijā ir p̂ = −iℏ ∂/∂x. Gaidāmā vērtība jeb vidējā novērojamā lieluma vērtība stāvoklī Ψ tiek rēķināta kā ⟨A⟩ = ∫Ψ* (Â Ψ) dx. Tas ļauj izteikt mērījumu rezultātus, izmantojot viļņu funkciju.

Piemēri

Brīva daļiņa: V(x)=0. Risinājums ir viļņu pakāpes funkcija (plāksterviļņi) ∼ e^{ikx}, kas ir enerģijas kontinuuma gadījums un nesatur lokalizētu sannu bez iepakotās viļņu pakas.
Neierobežotā kvantu lācis (infinite potential well): daļiņa ierobežotā kaste ar nebeidzami augstu potenciālu sienām rada diskretas enerģijas līnijas un stāvokļus ar noteiktām viļņu funkcijām (sinusoidālas formas kastē).
Harmoniskais oscilators: potenciāls V(x)=½ m ω² x². Risinājumi dod diskretas enerģijas līmeņus E_n = ℏω (n + ½) un Hermīta funkcijas formu viļņu funkcijas — tas ir ļoti svarīgs modelis atomos un molekulās.

Interpretācijas un mērījumu problēma

Viļņu funkcijas sabrukums un tas, kā rodas konkrēti mērījumu rezultāti, ir teorijas filozofiski un fiziski sarežģīts jautājums. Pastāv vairākas interpretācijas:

Kopenhāgenas interpretācija: viļņu funkcija apraksta zināšanas par sistēmu; mērījums izraisa sabrukumu uz vienu eigenstāvokli.
Daudzpasaules interpretācija: visi iespējamie rezultāti realizējas atsevišķos "pasaules zaros", viļņu funkcija nekad nesabrūk — novērošana tikai izvēlas zarus, kuros atrodamies.
Decoherences teorija: mijiedarbība ar vidi strauji iznīcina kvantu superpozīciju ievērojamos mērogos, kas praktiski rada sabrukuma efektu bez īpaša kolapsa postulāta.

Šīs diskusijas turpinās, jo eksperimenti un teorētiskie pētījumi uzrāda gan praktiskas, gan fundamentālas nianses kvantu mērījumos.

Ierobežojumi un vispārīgākas teorijas

Šrēdingera vienādojums ir ne‑relativistisks. Tas der labi, ja daļiņu ātrumi ir krietni mazāki par gaismas ātrumu. Lai aprakstītu relatīvistiskas daļiņas (piem., elektronus ar augstu ātrumu) vai iekļautu spinu, izmanto citus vienādojumus, piemēram, Klein–Gordon vai Diraka vienādojumus, kā arī kvantu lauka teoriju, kurā partiklēs tiek parādīti kā ekscitācijas laukos (second quantization).

Praktiskā nozīme

Šrēdingera vienādojums ir pamats modernai kvantu ķīmijai, materiālzinātnei un daudziem mūsdienu tehnoloģiju risinājumiem (pusvadītāji, kvantu punkti, lāzeri, spektroskopija).
Risinājumi sniedz tiešu informāciju par enerģiju, iespējām pāreju starp stāvokļiem un viļņu funkciju formu, kas ir svarīgi, lai izprastu atomu, molekulu un cietvielu īpašības.

Kopsavilkums

Šrēdingera vienādojums ir centrāls kvantu mehānikas instruments: tas nosaka, kā viļņu funkcija attīstās laikā un kā iegūstamas visu fizisko daudzumu varbūtības un gaidāmās vērtības. Tas atšķiras no klasiskās mehānikas, jo neatklāj deterministisku trajektoriju, bet gan varbūtību amplitūdas, kuru interpretācija un pilnīga izpratne turpina attīstīties gan teorētiski, gan eksperimentāli.

Ervina Šrēdingera krūšutēls Vīnes Universitātē. Tajā attēlots arī Šrēdingera vienādojums.

No laika neatkarīga versija

Pieņemot, ka viļņu funkcija Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,t)} $\Psi (x,t)$ , ir atdalāma, t. i., pieņemot, ka divu mainīgo funkciju var pierakstīt kā divu dažādu viena mainīgā funkciju reizinājumu:

Ψ ( x , t ) = ψ ( x ) T ( t ) {\displaystyle \Psi (x,t)=\psi (x)T(t)} $\Psi (x,t)=\psi (x)T(t)$

tad, izmantojot standarta daļējo diferenciālvienādojumu matemātikas metodes, var parādīt, ka viļņu vienādojumu var pārrakstīt kā divus atšķirīgus diferenciālvienādojumus.

i ℏ d T ( t ) d t = E T ( t ) {\displaystyle i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\,T(t)} $i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\,T(t)$

- ℏ 2 2 2 m d 2 ψ ( x ) d x 2 + V ( x ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}}}+V(x)\psi (x)=E\,\psi (x)} $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\,\psi (x)$

kur pirmais vienādojums ir atkarīgs tikai no laika T ( t ) {\displaystyle T(t)} $T(t)$ un otrais vienādojums ir atkarīgs tikai no stāvokļa ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)}. $\psi (x)$ un kur E {\displaystyle E} $E$ ir tikai skaitlis. Pirmo vienādojumu var atrisināt uzreiz, lai iegūtu

T ( t ) = e - i E t ℏ {\displaystyle T(t)=e^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}} $T(t)=e^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}$

kur e {\displaystyle e} $e$ ir Eilesera skaitlis. Otrā vienādojuma risinājumi ir atkarīgi no potenciālās enerģijas funkcijas V ( x ) {\displaystyle V(x)}. $V(x)$ , un tāpēc to nevar atrisināt, kamēr šī funkcija nav dota. Izmantojot kvantu mehāniku, var pierādīt, ka skaitlis E {\displaystyle E} $E$ patiesībā ir sistēmas enerģija, tāpēc šīs atdalāmās viļņu funkcijas apraksta konstantas enerģijas sistēmas. Tā kā daudzās svarīgās fizikālās sistēmās enerģija ir konstanta (piemēram, elektronam atomā), bieži izmanto iepriekš minēto atdalīto diferenciālvienādojumu kopas otro vienādojumu. Šis vienādojums ir pazīstams kā no laika neatkarīgais Šrēdingera vienādojums, jo tajā nav iesaistīts t {\displaystyle t} $t$ .

Viļņu funkcijas interpretācijas

Dzimis interpretācija

Ir daudz viļņu funkcijas filozofisku interpretāciju, un šeit tiks aplūkotas dažas no vadošajām idejām. Galvenā ideja, ko sauc par Borna varbūtības interpretāciju (nosaukta fiziķa Maksa Borna vārdā), izriet no vienkāršas idejas, ka viļņu funkcija ir kvadrātiski integrējama, t.i.

∫ - ∞ ∞ | Ψ ( x , t ) | 2 d x < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\!|\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty } $\int _{-\infty }^{\infty }\!|\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty$

Šai diezgan vienkāršai formulai ir liela fizikāla nozīme. Born izvirzīja hipotēzi, ka iepriekš minētais integrāls nosaka, ka daļiņa eksistē kaut kur telpā. Bet kā mēs to varam atrast? Mēs izmantojam integrāli

∫ b a Ψ ( x , t ) d x = P ( b < x < a ) {\displaystyle \int _{b}^{a}!\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)} $\int _{b}^{a}\!\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)$

kur P ( b < x < a ) {\displaystyle P(b<x<a)} ir daļiņas atrašanas varbūtība $P(b<x<a)$ apgabalā no b {\displaystyle b} līdz a {\displaystyle $b$ a} . Citiem vārdiem sakot, viss, ko par daļiņu kopumā var zināt iepriekš, ir varbūtības, vidējie lielumi un citi statistiskie lielumi, kas saistīti ar tās fizikālajiem lielumiem (pozīciju, impulsu utt.). Būtībā tā ir Borna interpretācija.

Kopenhāgenas interpretācija

Iepriekš minētās idejas var paplašināt. Tā kā Borna interpretācija saka, ka daļiņas faktisko pozīciju nevar zināt, mēs varam iegūt sekojošo. Ja Ψ 1 , Ψ 2 , Ψ 3 , ... Ψ n {\displaystyle \Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\Psi _{n}} $\Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\dots \Psi _{n}$ ir viļņu vienādojuma risinājumi, tad šo risinājumu superpozīcija, t.i.

Ψ s = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 + c 3 Ψ 3 + ⋯ + c n Ψ n {\displaystyle \Psi _{s}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\dots +c_{n}\Psi _{n}} $\Psi _{s}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\dots +c_{n}\Psi _{n}$

arī ir risinājums. Tas nozīmē, ka daļiņa eksistē visās iespējamās pozīcijās. Kad ierodas novērotājs un mēra daļiņas stāvokli, tad superpozīcija tiek reducēta līdz vienai iespējamai viļņu funkcijai. (t.i., Ψ s {\displaystyle \Psi _{s}}. $\Psi _{s}$ → Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}}. $\Psi _{n}$ kur Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}} $\Psi _{n}$ ir jebkurš no iespējamiem viļņu funkcijas stāvokļiem.) No šīs idejas, ka daļiņas stāvokli nevar precīzi noteikt un ka daļiņa vienlaikus pastāv vairākos stāvokļos, izriet nenoteiktības princips. Šā principa matemātisko formulējumu var dot šādi.

Δ x Δ p > ℏ 2 {\displaystyle \Delta x\Delta p>{\frac {\hbar }{2}}} $\Delta x\Delta p>{\frac {\hbar }{2}}$

Kur Δ x {\displaystyle \Delta x} $\Delta x$ ir pozīcijas nenoteiktība, un Δ p {\displaystyle \Delta p} $\Delta p$ ir impulsa nenoteiktība. Šo principu var matemātiski atvasināt no Furjē transformācijām starp impulsu un pozīciju, kā definēts kvantu mehānikā, bet šajā rakstā mēs to neizvērsīsim.

Citas interpretācijas

Pastāv dažādas citas interpretācijas, piemēram, daudzu pasauļu interpretācija un kvantu determinisms.

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir Šrēdingera vienādojums?

A: Šrēdingera vienādojums ir diferenciālvienādojums, kas ir kvantu mehānikas pamatā un ko 1925. gadā izdomāja Ervins Šrēdingers. Tas definē daļiņas vai sistēmas viļņu funkciju, kurai ir noteikta vērtība katrā telpas punktā katrā noteiktā laikā.

Kādu informāciju var iegūt, manipulējot ar viļņu funkciju?

A: Matemātiski manipulējot ar viļņu funkciju, var atrast reālās vērtības, kas saistītas ar tādām fizikālām īpašībām kā atrašanās vieta, impulss, enerģija utt.

J: Ko nozīmē, ja daļiņai vienlaikus var būt daudz dažādu stāvokļu, enerģiju, ātrumu vai citu fizikālo īpašību?

A: Tas nozīmē, ka viļņu funkcija var atrasties vairākos dažādos stāvokļos vienlaicīgi, tāpēc daļiņai var būt vairākas dažādas pozīcijas, enerģijas, ātrumi vai citas fizikālās īpašības vienlaicīgi (t. i., "būt divās vietās vienlaicīgi").

J: Kas ir viļņu funkcijas sabrukums?

A: Viļņu funkcijas sabrukums ir tad, kad tiek izmērīta kāda no šīm īpašībām, tai ir tikai viena konkrēta vērtība (kuru nevar precīzi paredzēt), un tāpēc viļņu funkcija atrodas tikai vienā konkrētā stāvoklī. Šķiet, ka to izraisa novērošanas vai mērīšanas akts.

Kādi ir daži Šrēdingera vienādojuma komponenti?

A: Šrēdingera vienādojuma sastāvdaļas ir i, kas ir vienāds ar kvadrātsakni -1; ℏ, kas apzīmē reducēto Planka konstanti; t, kas apzīmē laiku; x, kas apzīmē pozīciju; Ψ (x , t), kas apzīmē viļņu funkciju; un V(x), kas apzīmē potenciālo enerģiju kā vēl neizvēlētu pozīcijas funkciju.

J: Kā mēs interpretējam viļņu funkciju sabrukumu?

A: Par viļņu funkcijas sabrukuma precīzu cēloni un interpretāciju zinātnieku aprindās joprojām notiek plašas diskusijas.

Meklēt